комплексная

Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complex — совокупный, тесно связанный; о двойном ударении см. примечание) — числа вида



a
+
b
i


{\displaystyle a+bi}
, где



a
,
b


{\displaystyle a,b}
— вещественные числа,



i


{\displaystyle i}
— мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство:




i

2


=
−
1.


{\displaystyle i^{2}=-1.}
Множество комплексных чисел обычно обозначается символом




C

.


{\displaystyle \mathbb {C} .}
Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид



a
+
0
i


{\displaystyle a+0i}
. Главное свойство




C



{\displaystyle \mathbb {C} }
— в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен



n


{\displaystyle n}
-й степени (



n
⩾
1


{\displaystyle n\geqslant 1}
) имеет



n


{\displaystyle n}
корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.
Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше. Удобно представлять комплексные числа



a
+
b
i


{\displaystyle a+bi}
точками на комплексной плоскости; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе.
Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики, как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение



i


{\displaystyle i}
для мнимой единицы, Декарт, Гаусс. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году.
Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.
Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы.

View More On Wikipedia.org